Question

8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点B、C的直线解析式为y=x-3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于直线BC下方的一点，过点P作PH⊥直线BC于点H（且点H在线段BC上），设PH=y．P点的横坐标是x，写出y与x的函数关系式，并求当线段y的长最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q为平面直角坐标系内一点，直线PQ经过点H，且交y轴于点K，若HK=$\frac{3}{4}$KQ，求出点Q的坐标，并判断点Q是否在（1）中的抛物线上．

Answer 1

分析 （1）求出B、C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，作PG⊥AB于G交BC于N，先证明△HPN是等腰直角三角形，根据PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN根据二次函数即可解决问题．
（3）如图2中，设直线PH解析式为y=-x+b，先求出b，再根据条件求出Q的坐标即可判断．

解答 解：（1）由题意点B（3，0），C（0，-3），
∵抛物线y=x²+bx+c经过B、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3

（2）如图1中，作PG⊥AB于G交BC于N，
∵OC=OB，
∴∠GBN=∠GNB=45°，
∵∠MNP=∠GNB=45°，
∴△HNP是等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[x-3-（x²-2x-3）]
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（-x²+3x）
=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（  x-1.5）²+$\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$
∴x=1.5时，PH的值最大，
此时点p坐标为（$\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}$）．

（3）如图2中，设直线PH解析式为y=-x+b，把P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）代入得到b=-$\frac{9}{4}$，
∴直线PH解析式为y=-x-$\frac{9}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{8}}\\{y=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$，
∴点H坐标（$\frac{3}{8}$，-$\frac{21}{8}$），
∵HK=$\frac{3}{4}$KQ，
∴Q_x=±$\frac{3}{8}$×$\frac{4}{3}$=±$\frac{1}{2}$，
∴点Q坐标（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{4}$），
∵y=x²-2x-3，
x=-$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{7}{4}$，
x=$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{15}{4}$，
∴点Q（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）在抛物线上，点Q′（$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{4}$）不在抛物线上．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考压轴题．