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    如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
    （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
    （4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．
    （1）∵点D是OA的中点，
    ∴OD=2，
    ∴OD=OC．
    又∵OP是∠COD的角平分线，
    ∴∠POC=∠POD=45°，
    ∴△POC≌△POD，
    ∴PC=PD．

    （2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
    易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
    ∵△PBF是等腰直角三角形，
    ∴PM=
    1
    2
    BF=1，
    ∴点P的坐标为（3，3）．
    ∵抛物线经过原点，
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
    又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
    ∴有
    9a+3b=3
    4a+2b=0

    解得
    a=1
    b=-2

    ∴抛物线的解析式为y=x2-2x；

    （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
    连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
    ∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
    设CE所在直线的解析式为y=kx+b，
    则有
    k+b=-1
    b=2
    ，
    解得
    k=-3
    b=2
    ．
    ∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
    点P满足
    y=-3x+2
    y=x
    ，
    解得
    x=
    1
    2
    y=
    1
    2
    ，
    故点P的坐标为(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ．
    △PED的周长即是CE+DE=
    		10
    +
    		2
    ；

    （4）假设存在符合条件的P点．矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
    ①当P点在N点上方时，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，故P（2，2）；
    ②当P点在N点下方时，设P（a，a），则：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP2+PN2=CN2，即a2+（a-2）2+（2-a）2+（1-a）2=5，即4a2-10a+4=0，解得a=
    1
    2
    或a=2，故P（
    1
    2
    ，
    1
    2
    ），
    综上可知：存在点P，使∠CPN=90度．其坐标是(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    或（2，2）．
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    		3
    ，直线y=
    		3
    x-2
    		3
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    （1）点C、D的坐标分别是C______，D______；
    （2）求顶点在直线y=
    		3
    x-2
    		3
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    （3）将（2）中的抛物线沿直线y=
    		3
    x-2
    		3
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    1
    2
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    （2）求△ABM的面积；
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