Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，CE与AB交于点F．
（1）求证：AF=CF；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出CD=AB=8，AB∥CD，∠B=90°，由折叠的性质得出∠DCA=∠ECA，CE=CD=16，证出∠BAC=∠ECA，即可得出AF=CF；
（2）在Rt△BCF中，利用勾股定理，即可得方程x²=（16-x）²+8²，解此方程即可求得AF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=16，AB∥CD，∠B=90°，
∴∠DCA=∠BAC，
由折叠的性质可得：∠DCA=∠ECA，CE=CD=16，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AF=CF；
（2）解：设AF=x，则CF=x，BF=AB-AF=16-x，
在Rt△BCF中，CF²=BF²+BC²，
即x²=（16-x）²+8²，
解得：x=10，
∴AF=10．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．