Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，BE切⊙O于B交AC的延长线于E，若CD=4，BE=3，则⊙O的直径等于（　　）

• A、2

  3

• B、3

  3

• C、2

  2

• D、3

  2

Answer 1

分析：先连接BC．由于AB是直径，CD⊥AB，易得∠CMA=90°，CM=DM=

1

2

CD=2，CM²=AM•BM，而BE是切线，易知∠EBA=90°，从而易证CD∥BE，再根据平行线分线段成比例定理的推论可知△ACM∽△ABE，于是AM：AB=CM：BE，再设AM=x，BM=y，可得关于x、y的方程，解可求x、y，从而可求AB．

解答：解：如右图所示，连接BC，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠CMA=90°，CM=DM=

1

2

CD=2，CM²=AM•BM，
∵BE是切线，
∴∠EBA=90°，
∴CD∥BE，
∴△ACM∽△ABE，
∴AM：AB=CM：BE，
设AM=x，BM=y，那么
  

xy=4 x x+y = 2 3

，
解得

x=2 2 y= 2

，
∴AB=x+y=3

2

．
故选D．

点评：本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、垂径定理、解方程．解题的关键是证明CD∥BE，得出△ACM∽△ABE．