Question

17．如图，等腰直角△ABC与等腰直角△BDE，P为CE中点，连按PA、PD，探究PA、PD的关系．（针对图1，图2分别证明）

Answer 1

分析 如图1，作辅助线．构建全等三角形，证明△APC≌△FPE（SAS），得AC=EF，∠ACP=∠FEP，再证明△ABD≌△FED，得AD=DF，∠ADB=∠FDE，从而证明△ADF是等腰直角三角形，根据三线合一的性质得：PA和PD相等且互相垂直；
如图2，作辅助线，构建全等三角形，同理得△APC≌△FPE和△EFD≌△BAD，证明△ADF是等腰直角三角形，根据三线合一的性质以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得：PA=PD，PA⊥PD．

解答 解：如图1，延长AP至F，使AP=PF，连接EF、AD、DF，
在△APC和△FPE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=PF}\\{∠APC=∠FPE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△FPE（SAS），
∴AC=EF，∠ACP=∠FEP，
∵等腰直角△ABC与等腰直角△BDE，
∴AC=AB，BD=DE，
∠ACB=∠ABC=∠DBE=∠BED=45°，
∴AB=EF，
∵∠ABD=360°-∠ABC-∠DBE-∠CBE=360°-45°-45°-∠CBE=270°-∠CBE，
∠DEF=∠DEB+∠PEF+∠BEP=45°+∠ACP+∠BEP=45°+∠ACB+∠BCE+∠BEP=90°+180°-∠CBE=270°-∠CBE，
∴∠ABD=∠DEF，
∵AB=EF，BD=DE，
∴△ABD≌△FED，
∴AD=DF，∠ADB=∠FDE，
∵∠FDE+∠BDF=∠BDE=90°，
∴∠ADB+∠BDF=90°，
即∠ADF=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵P是AF的中点，
∴PA=PD，PA⊥PD；
（2）延长AP至F，使AP=PF，连接EF、PF、AD、FD，
同理得△APC≌△FPE，
∴AC=EF，∠EFP=∠PAC，
∵等腰直角△ABC与等腰直角△BDE，
∴AC=AB，BD=DE，
∠ACB=∠ABC=∠DBE=∠BED=45°，
在△EFO和△AOB中，
∵∠EOF=∠AOB，
∴∠OEF+∠EFP=∠OAB+∠ABE，
∴∠OED+∠DEF+∠PAC=∠PAC+∠CAB+∠ABE，
45°+∠DEF=90°+∠ABE，
∠DEF=45+∠ABE，
∴∠DEF=∠ABD，
∴△EFD≌△BAD，
∴FD=AD，∠ADB=∠EDF，
∵∠ADB+∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠EDF=90°，
∴∠ADF=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AP=PF，
∴PA=PD，PA⊥PD．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线的性质等，作辅助线构建等腰直角三角形、全等三角形是本题的关键．