Question

14．如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²=AF•AC．
（1）证明：△ABM≌△EBM；
（2）证明：FB是⊙O的切线；
（3）若cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12．求四边形AMEN的面积S．

Answer 1

分析 （1）由角平分线性质定理可得MA=ME，再根据HL即可证明△ABM≌△EBM；
（2）由△BAF∽△CAB．推出∠C=∠FBA，推出∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠C=90°，即：BC⊥BF由此即可证明；
（3）由△MEC∽△ADC．设ME=x，$\frac{ME}{AD}=\frac{MC}{AC}$，即$\frac{x}{12}=\frac{20-x}{20}$，求得x=$\frac{15}{2}$，ME=$\frac{15}{2}$，再证明四边形AMEN是平行四边形，根据S=ME•DE，求出DE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠BAC=90°，
∴MA⊥AB，∵ME⊥BE，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，
在Rt△BMA和Rt△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BN}\\{MA=ME}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EBM．

（2）证明：∵AB²=AF•AC，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AB}$，又∠BAF=∠BAC=90°，
∴△BAF∽△CAB．
∴∠C=∠FBA，
∴∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠C=90°，
即：BC⊥BF且BC为⊙O的直径，
∴BF为⊙O的切线．

（3）解：在Rt△ABD中，∵cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12，
∴BD=9，AB=15，AC=20，BE=AB=15，DE=6，
由（1）知△MEC∽△ADC．设ME=x，$\frac{ME}{AD}=\frac{MC}{AC}$，
即$\frac{x}{12}=\frac{20-x}{20}$，
∴x=$\frac{15}{2}$，ME=$\frac{15}{2}$，
∵∠AMN+∠ABM=90°，∠BND+∠DBN=90°，
∵∠ABN=∠DBN，∠ANM=∠BND，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AN=AM=ME，
∵AN∥EM，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∴S=ME•DE=45．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．