如图.在直角坐标系中.⊙C过原点O.交x轴于点A(2.0).交y轴于点B(0.23)．(1)求圆心的坐标,(2)抛物线y=ax2+bx+c过O.A两点.且顶点在正比例函数y=-33x的图象上.求抛物线的解析式,(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE.交⊙C于D.E两点.试判断D.E两点是否在(2)中的抛物线上,中的抛物线上存在点P(x0.y0).满足∠APB为钝角.求x0的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2

）．
（1）求圆心的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c过O、A两点，且顶点在正比例函数y=-

x的图象上，求抛物线的解析式；
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x₀，y₀），满足∠APB为钝角，求x₀的取值范围．

分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；
（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=-

x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为

，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；
（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．

解答：解：（1）∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径
∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=

OB=

，OH=

OA=1
∴圆心C的坐标为（1，

）；（2分）

（2）∵抛物线过O、A两点，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线的顶点在直线y=-

x上，
∴顶点坐标为（1，-

），（3分）
把这三点的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，得

c=0

4a+2b+c=0

a+b+c=-

（4分）
解得

b=-

c=0

（5分）
∴抛物线的解析式为y=

x²-

x；（6分）

（3）∵OA=2，OB=2

，
∴AB=

22+(2

=4，即⊙C的半径r=2，
∴D（3，

），E（-1，

），（7分）
代入y=

x²-

x检验，知点D、E均在抛物线上；（8分）

（4）∵AB为直径，
∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，
∴-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．（10分）

点评：此题考查了圆与二次函数的综合知识，考查了待定系数法，考查了圆的性质，考查了二次函数的对称性等，解题的关键是数形结合思想的应用．

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