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如图,四边形ABCD是平行四边形,F、G是AD边上的两个点,且FC平分∠BCD,GB平分∠ABC,FC与GB交于点E.
①AB=AG;②连接BF、CG,则四边形BFGC为等腰梯形;③AF=DG;④△ABG∽△DCF.
以上四个结论中一定成立的有(  )个.
分析:①根据角平分线的定义可得∠ABG=∠CBG,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBG=∠AGB,从而得到∠ABG=∠AGB,然后利用等角对等边即可证明;
②根据等腰梯形的对角线相等可得BG=CF,又等腰梯形的两对角线与同一底边的夹角相等,所以∠CBG=∠BCF,然后根据角平分线的定义可得∠ABC=∠BCD,与平行四边形ABCD相矛盾;
③根据角平分线的定义结合两直线平行,内错角相等的性质,以及等角对等边可得AB=AG,CD=DF,再结合图形可以推出AF=FG;
④两三角形形状不同,不可能相似.
解答:解:①∵GB平分∠ABC,
∴∠ABG=∠CBG,
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠CBG=∠AGB,
∴∠ABG=∠AGB,
∴AB=AG,故本小题正确;

②假设四边形BFGC为等腰梯形,则
BG=CF,
∴∠CBG=∠BCF,
又∵FC平分∠BCD,GB平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBG,∠BCD=2∠BCF,
∴∠ABC=∠BCD,
由图可知,平行四边形ABCD的两邻角∠ABC和∠BCD不相等,故本小题错误;

③根据①AB=AG,
同理可得,CD=DF,
在平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AG=DF,
∴AG-GF=DF-GF,
即AF=DG,故本小题正确;

④由图可知,△ABG是钝角三角形,△DCF是锐角三角形,
所以△ABG和△DCF形状不同,不可能相似,故本小题错误,
综上所述,正确的是①③共2个.
故选B.
点评:本题考查了等腰三角形的判定,平行四边形的性质,等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定,综合题,但难度不大,注意利用分析法与综合法两种求解方法解答.
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