Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，F、G是AD边上的两个点，且FC平分∠BCD，GB平分∠ABC，FC与GB交于点E．
①AB=AG；②连接BF、CG，则四边形BFGC为等腰梯形；③AF=DG；④△ABG∽△DCF．
以上四个结论中一定成立的有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据角平分线的定义可得∠ABG=∠CBG，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBG=∠AGB，从而得到∠ABG=∠AGB，然后利用等角对等边即可证明；
②根据等腰梯形的对角线相等可得BG=CF，又等腰梯形的两对角线与同一底边的夹角相等，所以∠CBG=∠BCF，然后根据角平分线的定义可得∠ABC=∠BCD，与平行四边形ABCD相矛盾；
③根据角平分线的定义结合两直线平行，内错角相等的性质，以及等角对等边可得AB=AG，CD=DF，再结合图形可以推出AF=FG；
④两三角形形状不同，不可能相似．

解答：解：①∵GB平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBG=∠AGB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG，故本小题正确；

②假设四边形BFGC为等腰梯形，则
BG=CF，
∴∠CBG=∠BCF，
又∵FC平分∠BCD，GB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBG，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC=∠BCD，
由图可知，平行四边形ABCD的两邻角∠ABC和∠BCD不相等，故本小题错误；

③根据①AB=AG，
同理可得，CD=DF，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AG=DF，
∴AG-GF=DF-GF，
即AF=DG，故本小题正确；

④由图可知，△ABG是钝角三角形，△DCF是锐角三角形，
所以△ABG和△DCF形状不同，不可能相似，故本小题错误，
综上所述，正确的是①③共2个．
故选B．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定，综合题，但难度不大，注意利用分析法与综合法两种求解方法解答．