Question

7．我们在初中物理已经学了光的反射定律：①入射光线、反射光线、法线都在同一个平面上；②入射光线、反射光线分居于法线两侧； ③入射角等于反射角．请你利用这一定律及初中数学知识解决以下问题：
（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E、F分别是其三边的中点，一条光线由点D出发，经DE→EF→FD反射回到D点，则图1中∠1+∠2+∠3=180°；
（2）如图2，在正n边形A₁A₂A₃…A_n中，点P₁、P₂、P₃…P_n分别是正n边形各边上的中点，一条光线从P₁点出发，经点P₂、P₃…P_n反射回到点P₁，则图2中∠A₂P₂P₁=$\frac{180°}{n}$（用含n的代数式表示）；
（3）如图3，在矩形ABCD，若AB=3，BC=4，点E是AB上的动点（不与A、B重合），一条光线从点E出发，入射光线EF与对角线AC平行，经BC、CD、AD上的点F、G、H反射回到E点，得四边形EFGH．
①求tan∠AHE的值；
②问：四边形EFGH的周长是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得∠B=∠C=∠A=60°，因为BD=BE=EC=CF=AF=AD，由等边三角形的判定得出∠1=∠2=∠3=60°，易得结论；
（2）利用（1）的结论即可得出答案；
（3）方法一：①由平行线的性质得∠BEF=∠BAC，由入射角等于反射角的结论得：∠BEF=∠AEH，等量代换得∠AEH=∠BAC，易得tan∠AEH=∠tan∠BAC，得出结论；②由等角对等边易得AJ=EJ，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠EAC+∠ACB=90°，∠AEH=∠EAC，得∠AHE=∠ACB，由AD∥BC得∠ACB=∠CAD，∠CAD=∠AHE，所以AJ=HJ，同理FK=KC，GK=KC，EF=JK，HG=JK，得出结论；
方法二：①由（1）的结论得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，由平行线的性质得∠1=∠ACB，∠8=∠BAC，等量代换得∠AEH=∠BAC，得出结论；②由平行四边形的判定得四边形EFGH是平行四边形，设BE=3x，则BF=4x，EF=5x，易得FC=4-4x，$CG=\frac{3}{4}CF=3-3x$，DG=3=CG=3x，BE=DG=3x，由勾股定理得FG，四边形EFGH的周长为2（EF+FG，代入得四边形EFGH的周长．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC为等边三角形，点D、E、F分别是其三边的中点，
∴∠B=∠C=∠A=60°，BD=BE=EC=CF=AF=AD，
∴△BDE，△CEF，△ADF均为等边三角形，
∴∠1=∠2=∠3=60°
∴∠1+∠2+∠3=180°，
故答案为：180°；    

（2）如图2，由（1）的结论可得：∠1+∠2+∠3+…∠n=180°，
∴∠A₂P₂P₁=$\frac{180°}{n}$，
故答案为：$\frac{180°}{n}$

（3）如图3，
方法一：①连结AC交EH，FG于点J，K，
∵EF∥AC
∴∠BEF=∠BAC，
由入射角等于反射角的结论得：∠BEF=∠AEH，
∴∠AEH=∠BAC
∴tan∠AEH=∠tan∠BAC=$\frac{4}{3}$；
②∵∠AEH=∠BAC，
∴AJ=EJ，
∵∠AEH+∠AHE=90°，∠EAC+∠ACB=90°，∠AEH=∠EAC，
∴∠AHE=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠AHE，
∴AJ=HJ，
同理FK=KC，GK=KC，EF=JK，HG=JK，
∴L_EFGH=HE+EF+FG+GH=2AJ+2KC+2JK=2AC=10，
∴四边形EFGH的周长为定值10；
方法二：①如图4，依据题意得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠ACB，∠8=∠BAC，
∴∠7=∠BAC即∠AEH=∠BAC，
∴$tan∠AEH=tan∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CAD=∠AC，
又∵EF∥AC，
∴∠1=∠ACB，
∴∠1=∠CAD，
而∠1=∠2，∠3=∠4，且∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
又∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠1，
∴∠5=∠CAD，
∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
在Rt△EBF，Rt△FCG和Rt△GDH中，
设BE=3x，则BF=4x，EF=5x，
∴FC=4-4x，$CG=\frac{3}{4}CF=3-3x$，
∴DG=3=CG=3x，
∴BE=DG=3x，
又∵∠5=∠1，
∴△EBF≌△GDH，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵$FG=\sqrt{{{（3-3x）}^2}+{{（4-4x）}^2}}=5-5x$，
∴四边形EFGH的周长为2（EF+FG）=2（5x+5-5x）=10，
∴四边形EFGH的周长为定值10．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，平行线的性质等，灵活运用结论，综合运用各种判定定理是解答此题的关键．