【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),且抛物线的顶点坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点D是第一象限抛物线上的一点,AD交y轴于点E,设点D的横坐标为m,设△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接AC,是否存在这样的点D,使得∠DAB=2∠ACO,若存在,求点D的坐标及相应的S的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)S=m2;(3)存在,点D的坐标为(
,
),相应的S的值为
【解析】
(1)设抛物线的表达式为:(
)2+4,将C的坐标代入,即可求解;
(2)S=S△CED =CE
xD=
m2;
(3)求出sin∠ACM==sin∠DAB,则tan∠DAB=
,得到直线AE的表达式,即可求解.
(1)设抛物线的表达式为:(
)2
(
)2+4,
将点C的坐标代入得:(
)2+4=3,
解得:,
∴抛物线的表达式为:(
)2+4
①;
(2)点D的横坐标为m,则点D的坐标为(m,﹣m2+2m+3),
设直线AD的表达式为:,
则,解得
,
∴直线AD的表达式为:,
∴点E的坐标为(,
),则
,
则S=S△CED =CE
xD=
m
m=
m2;
(3)存在,理由:
令,则
(
)2+4=0,
解得:,
∴点A的坐标为(,
),点B的坐标为(
,
),
在OB上截取OM=OA=1,故点M(1,0),
则∠MCO=∠ACO,
∵∠DAB=2∠ACO,
∴∠ACM=∠DAB,
在△ACM中,设CM边上的高为h,
AC=MC==
,
则S△AMC=,即2×3=
h,
解得:h=,
在△ACM中,sin∠ACM==
=
=sin∠DAB,
则tan∠DAB=,
在Rt△AOE中,OA=1,tan∠DAB=,
则OE=,故点E(0,
),
设直线AE的表达式为:,
则,解得:
,
∴直线AE的表达式为:y=x+
②,
联立①②并解得:=
或﹣1(舍去﹣1),
∴点D的坐标为(,
),
由(2)知,S=m2 =
=
,
∴点D的坐标为(,
),相应的S的值为
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B,抛物线
经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;
(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.
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【题目】某公司购进一批受环境影响较大的商品,需要在特定的环境中才能保存,已知该商品成本y(元/件)与保存的时间第x(天)之间的关系满足y=x2﹣4x+100,该商品售价p(元/件)与保存时间第x(天)之间满足一次函数关系,其对应数据如表:
x(天) | …… | 5 | 7 | …… |
p(元/件) | …… | 248 | 264 | …… |
(1)求商品的售价p(元/件)与保存时间第x(天)之间的函数关系式;
(2)求保存第几天时,该商品不赚也不亏;
(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出,每件商品能获得最大利润,此时每件商品的售价是多少?
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【题目】某次台风来袭时,一棵笔直大树树干AB(假定树干AB垂直于水平地面)被刮倾斜7°(即∠BAB′=7°)后折断倒在地上,树的顶部恰好接触到地面D处,测得∠CDA=37°,AD=5米,求这棵大树AB的高度.(结果保留根号)(参考数据:sin37≈0.6,cos37=0.8,tan37≈0.75)
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【题目】现有A、B两个不透明袋子,分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中,A袋装有2个白球,1个红球;B袋装有2个红球,1个白球。
(1)将A袋摇匀,然后从A袋中随机取出一个小球,求摸出小球是白色的概率;
(2)小华和小林商定了一个游戏规则:从摇匀后的A,B两袋中随机摸出一个小球,摸出的这两个小球,若颜色相同,则小林获胜;若颜色不同,则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。
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【题目】垃圾的分类处理与回收利用,可以减少污染,节省资源,生活垃圾一般按如图所示A、B、C、D四种分类方法回收处理,某城市环保部门为了提高宣传实效,抽样调查、统计了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类处理情况,并将调查统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图表:
根据图表解答下列问题:
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)在抽样数据中,产生的有害垃圾共 吨;
(3)调查发现,在可回收物中塑料类垃圾占,每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料.假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨,且全部分类处理,那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料?
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【题目】小亮和小刚利用学过的测量知识测量一座房子的高度,如图所示,他们先在地面上的点处竖直放了一根标杆
,在房子和标杆之间的地面上平放一平面镜,并在镜面上做了一个标记,小刚来回移动平面镜,当这个标记与地面上的点
重合时,小亮在标杆顶端
处刚好看到房子的顶端点
在镜面中的像与镜面上的标记重合,此时,在
处测得房子顶端点
的仰角为
,点
到点
的距离为0.8米.标杆
的长度为1米,已知点
在同一水平直线上,且
均垂直于
,求房子的高度
(平面镜的厚度忽略不计)
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【题目】如图某公园入口有三级台阶,每级台阶高18cm,深30cm,拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1:5,则AC的长度是( )
A.270cmB.210cmC.180cmD.96cm
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