数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况·探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答題目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
解答:解:(1)故答案为:=. (2)故答案为:=. 证明:在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC, ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC, ∴AE=AF=EF, ∴AB-AE=AC-AF, 即BE=CF, ∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°, ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°, ∵ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB, ∴∠BED=∠FCE, ∴△DBE≌△EFC, ∴DB=EF, ∴AE=BD. (3)答:CD的长是1或3. 考点:全等三角形的判定与性质;三角形内角和定理;等边三角形的判定与性质. 专题:计算题;证明题;分类讨论. 分析:(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可得到答案; (2)作EF∥BC,证出等边三角形AEF,再证△DBE≌△EFC即可得到答案; (3)分为两种情况:一是如上图在AB边上,在CB的延长线上,求出CD=3,二是在BC上求出CD=1,即可得到答案. 点评:本题主要考查对全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键. |
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