Question

已知凸四边形ABCD中，AC⊥BD，作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆,圆周角定理,镜面对称,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证△ES′R′∽△ESR，则有∠ES′R′=∠ESR，易证S′、D、R′、E四点共圆，则有∠ES′R′=∠EDR′，从而有∠ESR=∠EDR′；同理可得：∠ESP=∠EAP′，∠EQR=∠ECR′，∠EQP=∠EBP′，进而可证到∠PSR+∠PQR=180°，则有P、Q、R、S四点共圆．

解答：证明：∵点E关于CD、DA的对称点R、S，
∴

ER′

ER

=

ES′

ES

=

1

2

．
∵∠S′ER′=∠SER，
∴△ES′R′∽△ESR，
∴∠ES′R′=∠ESR．
∵点E关于CD、DA的对称点R、S，
∴∠AS′E=∠DR′E=90°，
∴S′、D、R′、E四点共圆，
∴∠ES′R′=∠EDR′，
∴∠ESR=∠EDR′．
同理可得：∠ESP=∠EAP′，∠EQR=∠ECR′，∠EQP=∠EBP′，
∵AC⊥BD，
∴∠DEC=∠AEB=90°，
∴∠PSR+∠PQR=∠ESR+∠ESP+∠EQR+∠EQP
=∠EDR′+∠EAP′+∠ECR′+∠EBP′
=∠EDR′+∠ECR′+∠EAP′+∠EBP′
=180°-∠DEC+180°-∠AEB
=360°-90°-90°=180°，
∴P、Q、R、S四点共圆．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题用到判定四点共圆的方法是：若四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角，则这四点共圆．