Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，AE为△ABC的外角∠FAC的角平分线，延长EA交CB的延长线于D，求AD的长．

Answer 1

分析 作△ABC的∠BAC的平分线AM，则∠1=∠2，由角平分线定理得出$\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{5}$，由勾股定理求出BC，得出BM=3，CM=5，证出∠1+∠5=90°，∠DAM=90°，∠D=∠1，得出△ABD∽△MBA，得出对应边成比例$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BM}$，求出BD=12，再由勾股定理求出AD即可．

解答 解：作△ABC的∠BAC的平分线AM，如图所示：
则∠1=∠2，$\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠B=90°，
∴∠ABD=90°=∠B，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BM=3，CM=5，
∵AE为△ABC的外角∠FAC的角平分线，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠5=∠4，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠DAM=90°，
∵∠5+∠D=90°，
∴∠D=∠1，
∴△ABD∽△MBA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BM}$，
即$\frac{BD}{6}=\frac{6}{3}$，
∴BD=12，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义、定理等知识；本题综合性强，有一定难度．