Question

19．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标为（-1，0）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2即可求出b的值，进而可求出抛物线的解析式；
（2）分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC的形状．

解答 解：（1）A点坐标为（-1，0），代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得，
0=$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴原抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（2）当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），OC=2，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=-1或4，
∴B（4，0），
∴OA=1，OB=4，AB=5，
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OB²+OC²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题及勾股定理的逆定理，掌握待定系数法求解析式是解答此题的关键．