Question

已知关于x的方程x²-（m-3）+m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m是整数，方程有一个根大于-7且小于3，求反比例函数y=的解析式．

Answer 1

（1）证明：△=（m-3）²-4（m-4）
=m²-10m+25
=（m-5）²，
∵（m-5）²，≥0，
∴△≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）解：x=，
∴x₁=1，x₂=m-4，
∵方程有一个根大于-7且小于-3，
∴-7＜m-4＜-3，解得-3＜m＜1
∵m是整数，
∴m的值为0，-2，
∵m≠0，
∴m=-2，
∴反比例函数的解析式为：y=．
分析：（1）先计算△得到△=（m-3）²-4（m-4）=m²-10m+25，配方得到（m-5）²，根据负非数的性质有（m-5）²，≥0，即△≥0，根据根的判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用求根公式可解得x₁=1，x₂=m-4，由方程有一个根大于-7且小于-3，得到-7＜m-4＜-3，解得-3＜m＜1，而m≠0，则满足条件的整数为m=-2，即可确定反比例函数的解析式．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．