【题目】如图,点是的角平分线上一点,过点作 交于点,过点作于点,若,,则=__________.
【答案】
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E.由角平分线的性质可知PD=PE,由OP是角平分线和PC∥OA,可得OC=PC=4,在直角三角形PCE中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,故CE=2,再由勾股定理得PE的值即可得到PD的值.
解:如图,过点P作PE⊥OB于点E.
∵∠AOB=60°,点P是∠AOB的角平分线上一点,
∴∠POD=∠POC=30°,
又∵PC∥OA,
∴∠PCB=∠AOB=60°,∴∠POC=30°,
∵∠PCO=180°-∠60°=120°,
∴∠POC=∠OPC=30°,
∴△OCP为等腰三角形,
∵OC=4,∠PCE=60°,
∴PC=4,CE=2,PE==2
所以PD=PE=2
故答案为2.
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【题目】阅读下面的材料,然后解答问题:
我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”(k为正实数).
(1)理解:根据“k倍三角形”的定义填空(填“锐角”、“直角”或“钝角”):
①当时,k倍三角形一定是_____________三角形;
②当时,k倍三角形一定是______________三角形.
(2)探究:当时,已知Rt△ABC为“k倍三角形”,且,,求所有满足条件的k值.
(3)拓展:若Rt△ABC是“k倍三角形”,且,,,.当时,求的值.
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【题目】广州火车南站广场计划在广场内种植A,B两种花木共 6600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
(1)A,B两种花木的数量分别是多少棵?
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵,应分别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务?
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【题目】如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_____海里(不近似计算).
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【题目】一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)
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【题目】如图,直线与坐标轴交于A,B两点,在射线AO上有一点P,当△APB是以AP为腰的等腰三角形时,点P的坐标是________________.
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【题目】我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=,例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所有3×4是最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数,求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
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