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(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =+1,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点AB在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(xy)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.

 (1) 写出点M的坐标;

 (2) 当四边形CMQP是以MQPC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.

 

【答案】

 

(1)M (0,2)

(2)①t = –+ x –2

–8.

【解析】

(1) ∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB = OC = 4,

∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,

∴ A,B的横坐标分别是2和– 2,

代入y =+1得, A(2, 2 ),B(– 2,2),

∴M (0,2),                                             ---2分

 (2) ① 过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H, 则HQ = y ,HP = x–t ,

由△HQP∽△OMC,得:, 即: t = x – 2y ,

∵ Q(x,y) 在y = +1上,

∴ t = –+ x –2.                        ---2分

当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t = – 4,解得x = 1±,

当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x = ± 2

∴x的取值范围是x ¹ 1±,

且x¹± 2的所有实数.                          ---2分

② 分两种情况讨论:

1)当CM > PQ时,则点P在线段OC上,                                                            

     ∵ CM∥PQ,CM = 2PQ ,

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2(+1),解得x = 0 ,

∴t = –+ 0 –2

= –2  .                                             --- 2分

2)当CM < PQ时,则点P在OC的延长线上,

     ∵CM∥PQ,CM = PQ,

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´2,解得: x = ±.     ---2分                                                 

当x = –时,得t = ––2 = –8 –,                       

当x =时,

得t =–8.                                  ---2分 

 

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如图,反比例函数的图象经过A、B两点,根据图中信息解答下列问题:

1.(1)写出A点的坐标;

2.(2)求反比例函数的解析式;

3.(3)若点A绕坐标原点O旋转90°后得到点C,请写出点C的坐标;并求出直线BC的解析式.

 

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1.(1)问:始终与△AGC相似的三角形有               

2.(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);

3.(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?

 

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1.(1)方案(I)是否可行?为什么?

2.(2)方案(II)是否切实可行?为什么?

3.(3)方案(II)中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是            ;若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案(II)是否成立?

4.(4)方案(II)中,若使BC=n·CD,能否测得(或求出)AB的长?理由是         ,若ED=m,则AB=      

 

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 1. (1)观察发现

    如(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.

    做法如下:作点B关于直线的对称点,连接,与直线的交点就是所求的点P

    再如(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.

做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为        . (2分)

        

 

2.(2)实践运用

   如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,求PM+PN的最小值。(5分)

3.(3)拓展延伸

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