Question

如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα的值为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线之间的距离,正方形的性质,锐角三角函数的定义

专题：

分析：过点D作DE⊥l₁于点E并反向延长交l₄于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DE⊥l₁于点E并反向延长交l₄于点F，
在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，
∴∠α=∠CDF，
在△ADE和△DCF中，

∠α=∠CDF ∠AED=∠DFC AD=DC

，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE，
∵相邻两条平行直线间的距离都是2，
∴DE=2，AE=4，
根据勾股定理得，AD=

AE2+DE2

=

16+4

=2

5

，
所以，cosα=

AE

AD

=

4

2 5

=

2 5

5

．
故答案为：

2 5

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．