Question

7．已知：AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，如图，AB=12，BC=4$\sqrt{3}$．BH与⊙O相切于点B，过点C作BH的平行线交AB于点E．
（1）求CE的长；
（2）延长CE到F，使EF=$\sqrt{2}$，连接BF并延长BF交⊙O于点G，求BG的长；
（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交BH于点D，求证：BD=BG．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABC∽△CBE，可得$\frac{BC}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$，由此即可解决问题．
（2）连接AG．只要证明△ABG∽△FBE，可得$\frac{BG}{AB}$=$\frac{BE}{BF}$，由BE=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=4，再求出BF，即可解决问题．
（3）通过计算首先证明CF=FG，推出∠FCG=∠FGC，由CF∥BD，推出∠GCF=∠BDG，推出∠BDG=∠BGD即可证明．

解答 解：（1）∵BH与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BH，
∵BH∥CE，
∴CE⊥AB，
∵AB是直径，
∴∠CEB=∠ACB=90°，
∵∠CBE=∠ABC，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$．

（2）连接AG．
∵∠FEB=∠AGB=90°，∠EBF=∠ABG，
∴△ABG∽△FBE，
∴$\frac{BG}{AB}$=$\frac{BE}{BF}$，
∵BE=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BG}{12}$=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$，
∴BG=8$\sqrt{2}$．

（3）易知CF=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
∴GF=BG-BF=5$\sqrt{2}$，
∴CF=GF，
∴∠FCG=∠FGC，
∵CF∥BD，
∴∠GCF=∠BDG，
∴∠BDG=∠BGD，
∴BG=BD．

点评 本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．