Question

某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，物价局规定该商品的利润率不得超过100%．
（1）请写出每月售出书包利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；
（2）为了获得最大的利润，应将该书包的售价定为多少？最大利润是多少？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于8250元？

Answer 1

分析：（1）设书包的售价为x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式，
（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，求出最大值，
（3）令二次函数等于8250，解得x的值，再利用（2）中x的取值范围，得出x的取值范围．

解答：解：（1）根据题意得出：
利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式为：
y=（40-30+x）（600-10x）=-10x²+500x+6000；

（2）y=-10x²+500x+6000
=-10（x-25）²+12250，
∵物价局规定该商品的利润率不得超过100%，
∴30×（1+100%）=60，60-40=20，
故0＜x≤20，
故x=20时，y最大利润是12000元；

（3）当8250=-10x²+500x+6000时，
解得：x₁=5，x₂=45，
故5≤x≤45时，商家获得的月利润不低于8250元，
又∵0＜x≤20，
∴当5≤x≤20时，商家获得的月利润不低于8250元．

点评：本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及求自变量最值问题以及一元二次方程的解法等知识，得出函数关系式是解题关键．