Question

1．如图，C为∠A0B的边0A上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交0B于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若OM=4，OQ=1，求QN的长；
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．问：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据四边形OMPQ是平行四边形，得到PQ=OM=4，PM=OQ=1，通过△NPQ∽△CPM，得到$\frac{PQ}{CM}=\frac{NQ}{PM}$，于是得到结果；
（2）设OM=x，ON=y，根据四边形OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y-x，根据平行得到三角形NQP与三角形NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值．

解答 解：（1）∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ是平行四边形，
∴PQ=OM=4，PM=OQ=1，
∴CM=OC-OM=2，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴∠NPQ=∠PCN，∠NQP=∠O=∠PMC，
∴△NPQ∽△CPM，
∴$\frac{PQ}{CM}=\frac{NQ}{PM}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{NQ}{1}$，
∴NQ=2；

（2）$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不发生变化，理由如下：
设OM=x，ON=y，
∵四边形OMPQ为菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
又∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{QP}{OC}$=$\frac{NQ}{ON}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{y-x}{y}$，
∴6y-6x=xy，
两边都除以6xy，得$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．