Question

6．如图，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，点B的坐标为（10，10），以点C为圆心，CB为半径画弧OB．
（1）以OA为直径的半圆M与弧OB交于点G，连接CG．
①判断CG与⊙M的位置关系，并证明你的结论；
②求G的坐标．
（2）设E（a，b）是$\widehat{OB}$上一动点，且a、b是方程x²-8x+k=0的两根，求k的值．

Answer 1

分析 （1）①连接OG，CM，MG，它们相交于点H，如图1，证明△MCG≌△MCO可得到∠MGC=∠MOC=90°，则根据切线的判定定理可判定CG为⊙O的切线；
②作GN⊥OA于N，如图1，先证明CM垂直平分OG，再理由勾股定理计算出CM=5$\sqrt{5}$，接着理由面积法计算出OH=2$\sqrt{5}$，然后证明Rt△NOG∽Rt△OCM，利用相似比计算出ON和GN，从而得到G点坐标；
（2）作EF⊥OC于F，如图2，先利用勾股定理得到a²+（10-b）²=10²，再根据根与系数的关系得到a+b=8，ab=k，则可消去a得到关于b的方程（8-b）²+（10-b）²=10²，解的满足条件的b的值为b=2，所以a=6，然后计算k的值．

解答 解：（1）①CG与⊙O相切．理由如下：
连接OG，CM，MG，它们相交于点H，如图1，
在△MCG和△MCO中
$\left\{\begin{array}{l}{MG=MO}\\{MC=MC}\\{OC=GC}\end{array}\right.$，
∴△MCG≌△MCO，
∴∠MGC=∠MOC=90°，
∴MG⊥CG，
∴CG为⊙O的切线；
②作GN⊥OA于N，如图1，
∵点B的坐标为（10，10），
∴CB=CO=OA=10，
∵CO=CG，MO=MG，
∴CM垂直平分OG，
在Rt△OCM中，CM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•OH•CM=$\frac{1}{2}$•OM•OC，
∴OH=$\frac{5×10}{5\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OG=2OH=4$\sqrt{5}$，
∵∠MOH+∠COH=90°，∠OCH+∠COH=90°，
∴∠MOH=∠OCH，
∴Rt△NOG∽Rt△OCM，
∴$\frac{ON}{OC}$=$\frac{GN}{OM}$=$\frac{OG}{CM}$，即$\frac{ON}{10}$=$\frac{GN}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴ON=8，GN=4，
∴G（8，4）；
（2）作EF⊥OC于F，如图2，
∵E（a，b），
∴EF=a，OF=b，
∴CF=OC-OF=10-b，
在Rt△CEF中，a²+（10-b）²=10²，
∵a、b是方程x²-8x+k=0的两根，
∴a+b=8，ab=k，
∴a=8-b，
∴（8-b）²+（10-b）²=10²，
整理得b²-18b+32=0，解得b₁=2，b₂=12（舍去），
∴b=2，a=6，
∴k=ab=2×6=12．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定方法和正方形的性质；会应用三角形全等证明角相等的问题；理解坐标与图形性质，能运用相似比和勾股定理进行几何计算．