Question

6．如图，在菱形ABCD中，点E为AC上一点，且∠DEB=120°
（1）求证：△ADE≌△ABE；
（2）若∠DAB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得AD=AB，∠1=∠2，然后利用SAS定理证明△ADE≌△ABE即可；
（2）首先证明∠ADE=90°，在△DAE中，设DE=x，AE=2x，利用勾股定理可得关于x的方程（2$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，再解即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠1=∠2，
在△ADE和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABE（SAS）；

（2）∵△ADE≌△ABE，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∠DEA=$\frac{1}{2}$∠DEB=60°，
∴∠ADE=90°，
在△DAE中，设DE=x，AE=2x，
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
即（2$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴DE=2．

点评 此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形四边形相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．