Question

如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C=90°，AD=4，BD=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：先利用切线的性质，由AD=4，BD=6，可知AE=4，BF=6，再根据勾股定理求出圆的半径，然后利用扇形的面积公式计算，阴影部分的面积=正方形的面积-扇形的面积．

解答：解：连接OE，OF，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，AD=4，BD=6
∴AE=4，BF=6，
设圆的半径=R，
∵△ABC是直角三角形，又∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴EC=CF=R，
∴AC=4+R，BC=6+R，
根据勾股定理得（R+4）²+（R+6）²=100，
解得R=2或-12，负值舍去．
∵阴影部分的面积=正方形OECF的面积-扇形的面积，
∴阴影面积=2×2-

90π×4

360

=4-π．

点评：本题的关键是求出圆的半径，然后理解阴影部分的面积=正方形的面积-扇形的面积．利用扇形和正方形的面积公式计算．