Question

2．如图，已知抛物线y=ax²+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO=∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出抛物线解析式，①设出点D坐标，用三角形ABD的面积建立方程即可得出点D坐标；
②分点M在OD上方，利用内错角相等，两直线平行，即可得出点M的纵坐标，即可得出M的坐标，带你M在OD下方时，求出直线DG的解析式，和抛物线解析式联立求出直线和抛物线的交点即可判断不存在；
（2）设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE，OF求和即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），
∴A（-2，0），4a+4=0，
∴a=-1，AB=4，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4，
①设D（m，-m²+4），
∵△ABD的面积为4，
∴4=$\frac{1}{2}$×4（-m²+4）
∴m=±$\sqrt{2}$，
∵点D在第一象限，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴D（$\sqrt{2}$，2），
②如图1，点M在OD上方时，
∵∠MDO=∠BOD，∴DM∥AB，
∴M（-$\sqrt{2}$，2），当M在OD下方时，
设DM交x轴于G，设G（n，0），
∴OG=n，
∵D（$\sqrt{2}$，2），
∴DG=$\sqrt{（n-\sqrt{2}）^{2}+4}$，
∵∠MDO=∠BOD，
∴OG=DG，
∴$\sqrt{（n-\sqrt{2}）^{2}+4}=n$，
∴n=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴G（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），
∵D（$\sqrt{2}$，2），
∴直线DG的解析式为y=-2$\sqrt{2}$x+6①，
∵抛物线的解析式为y=-x²+4②，
联立①②得，x=$\sqrt{2}$，y=2，此时交点刚好是D点，
所以在OD下方不存在点M．

（2）OE+OF的值不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，
∴OF∥DH，
∴$\frac{OF}{DH}=\frac{OA}{AH}$，
设D（b，-b²+4），
∴AH=b+2，DH=-b²+4，
∵OA=2，
∴$\frac{OF}{-{b}^{2}+4}=\frac{2}{b+2}$，
∴OF=$\frac{2（-{b}^{2}+4）}{b+2}=2（2-b）$，
同理：OE=2（2+b），
∴OE+OF=2（2-b）+2（2+b）=8．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，解（1）的关键是求出抛物线解析式，难点是分情况求出点M的坐标，解（2）的关键是作出辅助线．