Question

如图，正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形ABCD的边长为a，求证：四边形OMAN的面积是定值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角边角”证明△AOM和△BON全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）作OG⊥AB，OH⊥AD分别于点G，H，证明直角△AOH≌直角△AOG，即可得到S_{四边形OMAN}=S_{正方形OHAG}从而求解．

解答：解：（1）证明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，
∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵在△AOM和△BON中，

∠MAO=∠NBO OA=OB ∠AOM=∠BON

，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；

（2）作OG⊥AB，OH⊥AD分别于点G，H．则OH=OG，四边形OHAG是正方形．
∵在Rt△AOH和Rt△AOG中，

OA=OA OH=OG

，
∴Rt△AOH≌Rt△AOG（HL），
∴S_{四边形OMAN}=S_{正方形OHAG}=

1

4

a²．

点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．