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(2007•烟台)如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(-4,0),B点坐标为(1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.

【答案】分析:(1)根据相交弦定理推论可得出OC2=OA•OB,即可求出C点坐标.然后用待定系数法求解即可.
(2)先根据(1)的抛物线求出M的坐标,然后根据M、C的坐标用待定系数求出直线MC的解析式.
(3)直线与圆的位置关系无非是相切或不相切,可连接PC,证PC是否与MC垂直即可.(本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标,然后分别求出PN,PC,CN的长,用勾股定理进行判断).
解答:解:(1)连接PC,
∵A(-4,0),B(1,0)
∴AB=5
∵P是AB的中点,且是⊙P的圆心
∴PC=PA=,OP=4-=
∴OC===2
∴C(0,2).
设经过A、B、C三点的抛物线为y=a(x-1)(x+4),
∴-2=a(0-1)(0+4)
∴a=
∴抛物线为y=(x-1)(x+4),
即y=x2+x-2.

(2)将y=x2+x-2配方,得y=(x+2-
∴顶点M为(-,-).
设直线MC为y=kx+b,则有
解得
∴直线MC为y=x-2.

(3)直线MC与⊙P相切.
设MC与x轴交于点N,
在y=x-2中,令y=0,得x=
∴ON=,PN=+=,CN===
∴CN2+PC2=(2+(2=(2=PN2
∴∠PCN=90度.
∴MC与⊙P相切.
点评:本题考查了二次函数、一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的判定等知识.
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