Question

已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，F为AB延长线上一点，DF交BC于E．
（1）若E是DF的中点，CD=BF，试判定△ABC的形状．
（2）若AC•DE=AB•EF，证明：CD=BF．

Answer 1

分析：（1）根据E是中点和CD=BF可以想到，△FBE与另一个三角形全等，所以过D作DG∥AB，这样△FBE≌△DGE，所以FB、GD、CD都相等∠C=∠DGC=∠ABC，所以三角形是等腰三角形；
（2）先把乘积式转化成比例式

DE

EF

=

AB

AC

，所以需要过D作DG∥AB，再利用平行得

DE

EF

=

GD

FB

，而由于平行还可以得到△ABC∽△DGC，得到

CD

AC

=

GD

AB

，通过比例转化和等量代换即可得到CD=BF．

解答：（1）解：过D作DG∥AB交BC于G，
∴

GD

FB

=

DE

EF

，∠CGD=∠ABC
∵E是DF的中点，
∴DE=EF
∴GD=FB
又∵CD=FB，∴CD=GD
∴∠C=∠CGD
∴∠C=∠ABC
所以△ABC是等腰三角形．

（2）证明：过D作DG∥AB交BC于G，
∴

DE

EF

=

GD

FB

，

GD

AB

=

CD

AC

∴

GD

CD

=

AB

AC

又∵AC•DE=AB•EF
∴

DE

EF

=

AB

AC

∴

GD

FB

=

GD

CD

∴CD=BF．

点评：本题旨在考查通过作辅助线，把相关的两个量通过中间的一个量代换，从而使问题得以解决．