Question

6．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．
（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求$\frac{CD}{BC}$的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=$\frac{1}{2}$DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可；
（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例$\frac{CF}{EC}$=$\frac{BC}{ED}$，得出ED²=6a²，由勾股定理得出DC=$\sqrt{5}$a，即可得出结果；
（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，设EM=x，则FC=FE=x+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，FC=FE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；由（2）得：$\frac{CF}{EC}=\frac{BC}{ED}$，把CE=1，BE=n代入计算即可得出n的值．

解答 （1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$DE=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠BFC=90°，E为BC中点，
∴EF=EC，
∴CF=CE，
在△BCF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠DCE}\\{CF=CE}\\{∠FCB=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DEC（ASA）；
（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，
∴CF=$\frac{1}{2}$DE，
∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，
∴△BCF∽△DEC，
∴$\frac{CF}{EC}$=$\frac{BC}{ED}$，
即：$\frac{\frac{1}{2}ED}{a}$=$\frac{3a}{ED}$，
解得：ED²=6a²
由勾股定理得：DC=$\sqrt{D{E}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{6{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}a}{3a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，
∴FC=FE=FD，
∴∠FEC=∠FCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CEF，
∴∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADF=∠BCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，
∴四边形C′MFH是矩形，
∴FM=C′H=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
设EM=x，则FC=FE=x+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△EMC和Rt△FMC中，
由勾股定理得：CE²-EM²=CF²-FM²，
∴1²-x²=（x+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）²-（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，或x=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），
∴EM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，FC=FE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{5\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
由（2）得：$\frac{CF}{EC}=\frac{BC}{ED}$，
把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=$\frac{\sqrt{2n+2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2n+2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得：n=4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．