【题目】我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.
(发现与证明)ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.
结论1:△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形;
结论2:B′D∥AC
…
(应用与探究)
在ABCD中,已知BC=2,∠B=45°,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是正方形,求AC的长.(要求画出图形)
【答案】[发现与证明]:证明见解析;[应用与探究]:AC的长为或2.
【解析】
[发现与证明]由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB,由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′,证出∠EAC=∠ACB′,得出AE=CE;得出DE=B′E,证出∠CB′D=∠B′DA= (180°-∠B′ED),由∠AEC=∠B′ED,得出∠ACB′=∠CB′D,即可得出B′D∥AC;
[应用与探究]:分两种情况:①由正方形的性质得出∠CAB′=90°,得出∠BAC=90°,再由三角函数即可求出AC;
②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2.
解:[发现与证明]:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAC=∠ACB,
∵△ABC≌△AB′C,
∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C,
∴∠EAC=∠ACB′,
∴AE=CE,
即△ACE是等腰三角形;
∴DE=B′E,
∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED),
∵∠AEC=∠B′ED,
∴∠ACB′=∠CB′D,
∴B′D∥AC;
[应用与探究]:分两种情况:①如图1所示:
∵四边形ACDB′是正方形,
∴∠CAB′=90°,
∴∠BAC=90°,
∵∠B=45°,
∴AC=BC=;
②如图2所示:AC=BC=2;
综上所述:AC的长为或2.
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,
求证:①△ABG≌△AFG;②BG=CG
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【题目】为了把巴城建成省级文明城市,特在每个红绿灯处设置了文明监督岗,文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口,对闯红灯的人数进行统计.根据上午7:00~12:00中各时间段(以1小时为一个时间段),对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图,但均不完整.请你根据统计图解答下列问题:
(1)问这一天上午7:00~12:00这一时间段共有多少人闯红灯?
(2)请你把条形统计图补充完整,并求出扇形统计图中9~10点,10~11点所对应的圆心角的度数.
(3)求这一天上午7:00~12:00这一时间段中,各时间段闯红灯的人数的众数和中位数.
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【题目】某商场购进了甲、乙两种型号的中性笔共4000支,甲型号中性笔进价是3元/支,乙型号中性笔进价是7元/支,购进两种型号的中性笔共用去16000元.
(1)求甲、乙两种型号的中性笔各购进了多少支;
(2)为使每支乙型号中性笔的利润是甲型号的1.8倍,且保证售完这4000支中性笔的利润不低于7200元,求每支甲型号中性笔的售价至少是多少元.(注:利润=售价﹣进价)
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【题目】过某矩形的两个相对的顶点作平行线,再沿着平行线剪下两个直角三角形,剩余的图形为如图所示的ABCD,AB=4,BC=6,∠ABC=60°,则原来矩形的面积是__.
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【题目】某校数学兴趣小组根据学习函数的经验,对函数y=|x|+1的图象和性质进行了探究,探究过程如下:(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值如表:
X | … | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
Y | … | 3 | 2.5 | m | 1.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | … |
(1)其中m= .
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(3)当2<y≤3时,x的取值范围为 .
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【题目】在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)图1中a的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛.
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【题目】如图是我国年财政收人同比(与上一年比较)增长率的折线统计图,其中2017年我国财政收入约为25000亿元.下列说法:
①206年我国财政收入约为250000(1-195%)亿元;
②这四年中,2018年我国财政收人最少;
③2019年我国财政收入约为250000(1+11.7%)(1+21.3%)亿元
其中正确的有____(只需填出序号)
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