Question

如图，已知双曲线经过点M，它关于y轴对称的双曲线为.
（1）求双曲线与的解析式；
（2）若平行于轴的直线交双曲线于点A，交双曲线于点B，在轴上存在点P，使以点A，B，O，P为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．

Answer 1

（1）， ；
（2）满足要求的点P有两个：或．

试题分析：（1）根据M点的坐标求出的解析式，根据对称性求出的解析式；
（2）设出A、B的坐标，根据四边形OPAB是菱形，得到是等边三角形，求出AB，再利用勾股定理求出OE，OE等于点A的纵坐标，联立方程，从而求出P的坐标．
试题解析：（1）在双曲线上，
，，
双曲线与关于轴对称，
 ；
（2）双曲线与关于轴对称
∴点A与点B关于y轴对称，有OA=OB. 
设，则，AB=2m，

∵四边形OPAB是菱形，则OB=AB，
， 是等边三角形.
 ，  ，
， .
， ， ，
同理，当四边形OABP是菱形时，
综上所述，满足要求的点P有两个：或．