Question

【题目】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．

（1）求证：△PMN是等边三角形；

（2）若AB＝18cm，求CM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；

（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长．

（1）证明：∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C，

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，

∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，

∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，

∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，

∴△PMN是等边三角形；

（2）解：∵△PMN是等边三角形，

∴PM＝MN＝NP，

在△PBM、△MCN和△NAP中，

，

∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），

∴PA＝BM＝CN，PB＝CM＝AN，

∴BM+PB＝AB＝18cm，

∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴2PB＝BM，

∴2PB+PB＝18cm，

∴PB＝6cm，

∴CM＝6cm．