Question

已知抛物线y=2x²-4x-1
（1）求当x为何值时y取最小值，且最小值是多少？
（2）这个抛物线交x轴于点（x₁，0），（x₂，0），求值：

x2

x1

+

x1

x2

（3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式利用配方法，由一般式变为顶点式，根据a大于0，抛物线开口向上，顶点为最低点，y有最小值，当x等于顶点横坐标时，y的最小值为顶点纵坐标；
（2）令y=0，得到一个一元二次方程，由抛物线与x轴的交点坐标可得方程的两个根为x₁，x₂，由a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两个根之和与两个根之积，把所求的式子通分后，分子再利用完全平方公式化简，把求出的两根之和与两根之积代入即可求出值；
（3）根据平移规律“上加下减，左加右减”，由已知抛物线的解析式，可得出平移后抛物线的解析式．

解答：解：（1）y=2x²-4x-1=2（x²-2x+1）-2-1=2（x-1）²-3，
当x为1时，y最小值为-3．

（2）令y=0，得2x²-4x-1=0，
由题意得：方程的两个根为x₁，x₂，
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁x₂=

c

a

=-

1

2

，
则

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=

(x1+x2) 2-2x1x2

x1x2

=-10；

（3）二次函数的图象向右平移2个单位长度，
得到解析式为y=2（x-1-2）²-3，即y=2（x-3）²-3，
再向下平移1个单位长度，得y=2（x-3）²-3-1，即y=2（x-3）²-4，
则平移后顶点坐标为（3，-4）．

点评：此题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，一元二次方程与二次函数的关系，以及二次函数图象的平移规律，其中利用配方法把解析式由一般式变为顶点式是解本题的突破点．