Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O₁、⊙O₂于C、D，的中点为M，AM交⊙O₁于E，交CD于F，连CE、AD、DM．
（1）求证：AM•EF=DM•CE；　
（2）求证：；
（3）若BC=5，BD=7，CF=2DF，AM=4MF，求MF和CE的长．

Answer 1

（1）证明：连AB，
∵的中点为M，
∴∠BAM=∠MAD，
∵∠ABF+∠BAF+∠AFB=∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°，
∴∠AFB=∠ADM，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ECF=∠MAD，
∴△CEF∽△AMD，
∴，
∴AM•EF=DM•CE；

（2）证明：∵∠C=∠BAF，∠BAF=∠BDM，
∴∠C=∠BDM，
∴CE∥DM，
∴，
∵△CEF∽△AMD，
∴，
∴=•=

（3）解：∵BC=5，BD=7，
∴CD=BC+BD=12，
∵CF=2DF，
∴CF=8，FD=4，
∵△CEF∽△AMD，
∴，
∵CE∥DM，
∴，
∴，
∴
∴DM=DF=4
∵AM=4MF=8，
∴MF=2，
∴CE=8．
分析：（1）首先连接AB，由的中点为M，易得：∠BAM=∠MAD与∠BAM=∠MAD，则可求得∠AFB=∠ADM；由同弧所对的圆周角相等，可得∠BAF=∠BCE，则得∠ECF=∠MAD，即可证得△CEF∽△AMD，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AM•EF=DM•CE；
（2）首先易证得CE∥DM，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由△CEF∽△AMD，可得
，则问题得证；
（3）首先由相似三角形的性质与平行线分线段成比例定理，求得MF与CE的值即可．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质以及平行线的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．