Question

如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：CH平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM=∠CBN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∴CH平分∠AHE；

（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠BCE，
∵∠AMH=∠AMC，
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=180°-α，
∴∠CHE=∠AHE=90°-α．
分析：（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；
（2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可证∠CAD=∠CBE，再证△ACM≌△BCN，（或证△ECN≌△DCM），可得CM=CN，即可证得CH平分∠AHE；
（3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠BCE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．