Question

某人定制了一批地砖，每块地砖（如图（1）所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
（1）判断图（2）中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
（2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

Answer 1

【答案】分析：（1）图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕C点按顺（逆）时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．所以△CEF是等腰直角三角形．因此四边形EFGH是正方形．
（2）费用由三部分的费用组成，因此需求各个部分的面积．因为CE=CF，所以可设CE=x，用含x的式子表示各部分的面积，得出费用的表达式，再运用函数性质解答．
解答：解：（1）四边形EFGH是正方形．（2分）
图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕C点按顺（逆）时针方向旋转90°后得到的，
故CE=CF=CG．
∴△CEF是等腰直角三角形．
∴四边形EFGH是正方形．（4分）

（2）设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为y，
那么y=x²×30+×0.4×（0.4-x）×20+[0.16-x²-×0.4×（0.4-x）]×10
=10（x²-0.2x+0.24）
=10[（x-0.1）²+0.23]（0＜x＜0.4）．（8分）
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．
答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．（10分）
点评：此题是数学综合题，涉及四边形和二次函数的有机结合，很有创意．