练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
    （1）当点D的纵坐标为9时，求：点E、F的坐标．
    （2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．
    分析：（1）先利用待定系数法可求出正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=
    3
    2
    x，y=
    6
    x
    ；把y=9代入y=
    3
    2
    x，得x=6，可确定D点坐标为（6，9），根据题意可得A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，然后把y=9代入y=
    6
    x
    得x=
    2
    3
    ，把x=6代入y=
    6
    x
    得y=1，则A点坐标为（
    2
    3
    ，9），F点坐标为（6，1），即得到点E的横坐标为
    2
    3
    ，x=
    2
    3
    代入y=
    3
    2
    x得y=1，从而可确定E点坐标为（
    2
    3
    ，1）；
    （2）设D点坐标为（a，
    3
    2
    a），与（1）一样可得A点的纵坐标为
    3
    2
    a，点F的横坐标为a，把y=
    3
    2
    a代入y=
    6
    x
    得x=
    4
    a
    ，把x=a代入y=
    6
    x
    得y=
    6
    a
    ，即可得到A点坐标为（
    4
    a
    ，
    3
    2
    a），F点坐标为（a，
    6
    a
    ），可得DF=
    3
    2
    a-
    6
    a
    ；而点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
    4
    a
    ，把x=
    4
    a
    代入y=
    3
    2
    x得y=
    6
    a
    ，则E点坐标为（
    4
    a
    ，
    6
    a
    ），则有AE=
    3
    2
    a-
    6
    a
    ，即可得到AE=DF．
    解答：解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k1x，y=
    k 2
    x
    ，把P（2，3）分别代入得k1=
    3
    2
    ，k2=6，
    ∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=
    3
    2
    x，y=
    6
    x
    ，
    又∵点D的纵坐标为9，
    ∴对于y=
    3
    2
    x，令y=9，得9=
    3
    2
    x，解得x=6，
    ∴D点坐标为（6，9），
    ∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
    ∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
    ∵点A与点F在反比例y=
    6
    x
    的图象上，
    ∴把y=9代入y=
    6
    x
    得x=
    2
    3
    ，把x=6代入y=
    6
    x
    得y=1，
    ∴A点坐标为（
    2
    3
    ，9），F点坐标为（6，1），
    又∵AB⊥x轴，
    ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
    2
    3
    ，
    而点E在直线y=
    3
    2
    x上，把x=
    2
    3
    代入y=
    3
    2
    x得y=1，
    ∴E点坐标为（
    2
    3
    ，1）；

    （2）AE与DF相等．理由如下：
    设D点坐标为（a，
    3
    2
    a），
    则A点的纵坐标为
    3
    2
    a，点F的横坐标为a，
    把y=
    3
    2
    a代入y=
    6
    x
    得x=
    4
    a
    ，把x=a代入y=
    6
    x
    得y=
    6
    a
    ，
    ∴A点坐标为（
    4
    a
    ，
    3
    2
    a），F点坐标为（a，
    6
    a
    ），
    ∴DF=
    3
    2
    a-
    6
    a
    ；
    又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
    4
    a
    ，
    而点E在直线y=
    3
    2
    x上，把x=
    4
    a
    代入y=
    3
    2
    x得y=
    6
    a
    ，
    ∴E点坐标为（
    4
    a
    ，
    6
    a
    ）
    ∴AE=
    3
    2
    a-
    6
    a
    ，
    ∴AE=DF．
    点评：本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知正比例函数y=x与反比例函数y=
    1x
    的图象交于A、B两点．
    （1）求出A、B两点的坐标；
    （2）根据图象求使正比例函数值大于反比例函数值的x的范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知正比例函数y1=x，反比例函数y2=
    1
    x
    ，由y1，y2构造一个新函数y=x+
    1
    x
    其图象如图所示．（因其图精英家教网象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
    ①该函数的图象是中心对称图形；
    ②当x＜0时，该函数在x=-1时取得最大值-2；
    ③y的值不可能为1；
    ④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
    其中正确的命题是
     
    ．（请写出所有正确的命题的序号）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函致y=
    kx
    （k≠0）的图象的一个交点为A（-1，2-k2），另一个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．
    （1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
    （2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知正比例函数y1=x，反比例函数y2=
    1
    x
    ，由y1，y2构造一个新函数y=x+
    1
    x
    ，其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
    ①该函数的图象是中心对称图形；
    ②当x＜0时，该函数在x=-1时取得最大值-2；
    ③y的值不可能为1；
    ④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
    其中正确的命题是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
    （1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
    （2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
    （3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为
    93
    16
    ．
    （参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为(
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    )    ）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案