Question

22、已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．

Answer 1

分析：（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；
（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；
（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．

解答：解：（1）能．
画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．

（2）∵PQ∥OA，
∴∠QPR=∠OCD，
又∵∠QPR=∠AOB，
∴∠OCD=∠AOB．
∴OD=CD．
即△OCD是以OC为底的等腰三角形．

（3）如图②．

点评：此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．