Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且

（1）求a、b的值；

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使三角形COM的面积是三角形ABC的面积的一半，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使三角形COM的面积三角形ABC的面积的一半仍然成立? 若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时， 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=-2，b=3；（2）满足条件的点M坐标为（2.5，0）或（-2.5，0）或（0，5）或（0，-5）；（3）=2，理由见解析．

【解析】试题分析：

（1）由列出关于a、b的方程组，即可解得a、b的值；

（2）①由题意设点M的坐标为（x，0），在OM=，结合△COM的面积是△ABC面积的一半，列出方程，解方程结合点M在x轴的正半轴即可求得此时点M的坐标；

②由①中的结果可得点M在x轴负半轴时的坐标；当M在y轴上时，可设点M的坐标为（0，y），结合△COM的面积是△ABC面积的一半，列出方程，解方程即可求得点M在y轴上的符合条件的坐标；

（3）由题意易证∠OPD=∠POB=2∠BOF，∠DOE+∠DOF=90°，∠BOF+∠DOF=90°，由此可得到∠OPD=2∠BOF=2∠DOE，从而可得=2.

试题解析：

（1）∵ ，

∴ ，解得 ；

（2）①由（1）中结论可知点A、B的坐标分别为（-2，0）和（3，0），

∴AB=5，

又∵点C的坐标为（-1，2），

∴S△ABC=，

当点M在x轴上时，设点M的坐标为（x，0），则OM=，由题意可得：

，解得，

∵点M在x轴的正半轴，

∴点M的坐标为（2.5，0）；

②由①中结论可知当点M在x轴的负半轴时，点M的坐标为（-2.5，0）；

当点M在y轴上时，如下图，可设点M的坐标为（0，y），则OM=，由题意可得：

，解得： ，

∴此时点M的坐标为（0，5）或（0，-5）；

综上所述，当点M在坐标轴上时，其坐标分别为（2.5，0）、（-2.5，0）、（0，5）和（0，-5）；

（3）如图2，∵CD⊥y轴，

∴CD∥OB，

∴∠OPD=∠POB，

∵OF平分∠POB，

∴∠OPD=∠POB=2∠BOF，

∵OE⊥OF，

∴∠EOF=∠DOB=90°，

∴∠DOE+∠DOF=∠DOF+∠BOF=90°，

∴∠DOE=∠BOF，

∴∠POD=2∠DOE，

∴=2.