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如图,四边形ABCD是正方形,点E、F分别是AB和AD延长线上的点,BE=DF.
(1)求证:△CEF是等腰直角三角形;
(2)若S△CEF=
17
2
,①当AF=5DF时,求正方形ABCD的边长;②通过探究,直接写出当AB=kDF(k>1)时,正方形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°,
∴∠B=∠CDF,
在△BEC和△DFC中,
BC=DC
∠B=∠CDF
BE=DF

∴△BEC≌△DFC(SAS),
∴EC=FC,∠BCE=∠DCF,
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°,
∴∠DCF+DCE=90°,
即∠ECF=90°,
∴△CEF是等腰直角三角形;

(2)①∵AF=5DF,
∴可设DF=x,(x>0),则AF=5x,BC=AD=4x,BE=x,
由勾股定理得:CE2=x2+(4x)2=17x2
∵S△CEF=
17
2
,且△CEF是等腰直角三角形,
∴S△CEF=
1
2
×CE2=
1
2
×17x2=
17
2

解得:x=1,
∴AD=4,
即正方形ABCD的边长为4;
②当AB=kDF(k>1)时,CE2=DF2+CD2=(k2+1)DF2
∴S△CEF=
1
2
×CE2=
1
2
(k2+1)DF2=
17
2

∴DF2=
17
k2+1

∴AB2=k2DF2=
17k2
k2+1

即正方形的面积为
17k2
k2+1
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