Question

10．在等腰Rt△ABC中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于E交AB于F，则S_△MBF=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示，只要证明△ACM≌△CBG（ASA），△BFG≌△BFM（SAS），由CM=MB=$\frac{1}{2}$，推出S_△CMF=S_△MBF=S_△BFG，S_△BCG=S_△ACM=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，推出S_△BMF=$\frac{1}{3}$S_△BCG由此即可解决问题．

解答 解：：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示，
∵∠CBG=90°，CF⊥AM，
∴∠CAM+∠AMC=∠BCG+∠AMC=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
在△ACM和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠CBG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴CM=BG，∠CMA=∠CGB，
∵CM=BM，
∴BG=BM，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBM=∠GBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，
在△BFG和△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BM}\\{∠FBM=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFM（SAS），
∵CM=MB=$\frac{1}{2}$，
∴S_△CMF=S_△MBF=S_△BFG，
∵S_△BCG=S_△ACM=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BMF=$\frac{1}{3}$S_△BCG=$\frac{1}{12}$．
故答案为$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．