(1)证明:∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
BD=BA,BF=BC,∠DBA=∠FBC=60°,
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA,
∴∠DBF=∠ABC.
在△ABC和△DBF中,

∴△ABC≌△DBF.
∴AC=DF=AE.
同理△ABC≌△EFC.
∴AB=EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)解:当∠BAC=150°,∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°,
∴平行四边形DAEF是矩形.
当AB=AC≠BC,有AD=AE,
∴平行四边形DAEF是菱形.
当∠BAC=60°,△FBC与△ABC重合,故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
分析:(1)、根据等边三角形的性质证△ABC≌△DBF≌△EFC,就有AD=EF,DF=CE,从而得证四边形DAEF是平行四边形;
(2)、当∠BAC=150°,∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°,所以平行四边形DAEF是矩形;
当AB=AC≠BC,有AD=AE,所以平行四边形DAEF是菱形;
当∠BAC=60°,△FBC与△ABC重合,故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
点评:本题利用了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质.