Question

12．如图，已知直线y=3x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2．
探究：如图，若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点C的纵坐标为12，求△AOC的面积；
拓展：过原点O的另一条直线交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若以A，B，P，Q为顶点的四边形面积为20，则点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，9）或（3，4）．

Answer 1

分析 探究：首先利用正比例函数解析式计算出A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得反比例函数解析式；分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，再利用反比例函数解析式计算出点C的坐标，根据反比例函数解析式计算出S_△CDO=S_△AEO=$\frac{1}{2}$|k|，再用S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，即可算出答案；
拓展：由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即为5．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照上面三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为5，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

解答 解：探究：∵点A在直线y=3x上，且点A的横坐标为2，
∴y=3×2=6，
∴A（2，6），
∵点A（2，6）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴6=$\frac{k}{2}$，
解得：k=12．
即双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$．
如图1，分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为点D，E．
∵点C在双曲线y=$\frac{12}{x}$上，点C的纵坐标为12，
∴12=$\frac{12}{x}$，
解得：x=1，
即点C的坐标为（1，12），
∵点A，C都在双曲线y=$\frac{12}{x}$上，
∴S_△AOE=S_△COD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$（AE+CD）•DE=$\frac{1}{2}$（6+12）×1=9；

拓展：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形APBQ}=$\frac{1}{4}$×20=5，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），得P（m，$\frac{12}{m}$），
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
若0＜m＜2，如图2，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5，
∴$\frac{1}{2}$（6+$\frac{12}{m}$）•（2-m）=5，
∴m=$\frac{4}{3}$，m=-3（舍去），
∴P（$\frac{4}{3}$，9）；
若m＞2，如图3，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5，
∴$\frac{1}{2}$（6+$\frac{12}{m}$）•（m-2）=5，
解得m=3，m=-$\frac{4}{3}$（舍去），
∴P（3，4）．
所以点P的坐标是：P（$\frac{4}{3}$，9）或P（3，4）．
故答案为（$\frac{4}{3}$，9）或（3，4）．

点评 本题考查了反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、反比例函数与一次函数的交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．