Question

3．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠F=∠B，AB=AF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CE，EF=DE，根据勾股定理得到DE=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，
∴∠F=∠B，AB=AF，
∴AF=CD，∠F=∠D，
在△AEF与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠D}\\{∠AEF=∠CED}\\{AF=CD}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CDE；
（2）∵AB=4，BC=8，
∴CF=AD=8，AF=CD=AB=4，
∵△AFE≌△CDE，
∴AE=CE，EF=DE，
∴DE²+CD²=CE²，
即DE²+4²=（8-DE）²，
∴DE=3，
∴EF=3，
∴图中阴影部分的面积=S_△ACF-S_△AEF=$\frac{1}{2}$×4×8-$\frac{1}{2}$×4×3=10．

点评 本题考查了翻折变换-折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．