Question

【题目】如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．

（1）求∠AFE的度数；

（2）求证：ACDF＝BDBF；

（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）证明△ABD≌△BCE（SAS），得出∠BAD＝∠CBE，则∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；

（2）证明△ADB∽△BDF，得出，由AB＝AC可得出结论；

（3）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，证明△BAF≌△CAH（SAS），得出∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，可证明AF∥CH，得出，进而即可得出答案．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，

∴∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；

（2）证明：由（1）知∠BAD＝∠DBF，

又∵∠ADB＝∠BDF，

∴△ADB∽△BDF，

∴，

又AB＝AC，

∴，

∴ACDF＝BDBF；

（3）证明：延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，

由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，

∴△AFH是等边三角形，

∴∠FAH＝60°，AF＝AH，

∴∠BAC＝∠FAH＝60°，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，

即∠BAF＝∠CAH，

在△BAF和△CAH中，

,

∴△BAF≌△CAH（SAS），

∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，

又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，

∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，

即∠ABF＝∠CAF，

∴∠ACH＝∠CAF，

∴AF∥CH，

∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，

∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，

∴FH＝2CH，

∴FH＝2BF，

∵FD∥CH，

∴，

∴BD＝DC．