Question

【题目】如图1，等边三角形ABC中，点D在AB上（点D与点A，B不重合），DE⊥BC，垂足为E，点P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′与△BDE关于DP对称．设BE=x，△B′DE′与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x＜， ≤x＜m与m≤x＜n时，函数的解析式不同）．

（1）填空：等边三角形ABC的边长为_____，图2中a的值为_____；

（2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】 2， ； S=

【解析】（1）先根据图象得到当x=BE=时，点B'在AC上，进而得出△ADB'是等边三角形，根据AD=DB'=DB=1，可得等边三角形ABC的边长为2，再根据S△DB'E'=S△DBE=，可得a的值；

（2）分三种情况讨论：当0＜x＜时，当≤x＜时，当≤x＜1时，分别根据△B′DE′与△ABC重叠部分的形状，运用图形面积的和差关系得到S的表达式．

解：（1）如图甲，

当x=BE=时，点B'在AC上，

∵DE⊥BC，

∴∠BDE=30°，

∴BD=2BE=1，DE=，

又∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，DP∥AC，

∴DB'=DB=1，且∠BDB'=60°×2=120°，

∴DB'∥BC，

∴△ADB'是等边三角形，

∴AD=DB'=DB=1，

∴AB=2，即等边三角形ABC的边长为2，

∵S△DB'E'=S△DBE=××=，

∴a=，

故答案为：2，；

（2）当0＜x＜时，如图1，

∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，

∴∠A=∠B=60°，∠BDE=30°，

∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，

∴S=S△DB'E'=S△DBE=BE×DE=xx=x2；

当x=m时，点E'在AC上，此时，BE=AD=AB=，即m=，

当≤x＜时，如图2，

设B'D，B'E'分别与AC交于点M，N，

∵DP∥AC，

∴∠B'MN=∠DMA=∠MDP，∠BDP=∠A，

∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，

∴∠MDP=∠BDP=∠A=60°，∠B'=∠B=60°，

∴∠B'MN=∠DMA=60°，

∴∠B'NM=60°=∠B'MN=∠B'，∠ADM=60°=∠DMA=∠A，

∴△B'MN和△ADM都是等边三角形，

作NQ⊥B'M于Q，则NQ=B'N，

∵B'M=B'D﹣DM=BD﹣AD=2x﹣（2﹣2x）=4x﹣2，

∴S=S四边形DE'NM

=S△B'DE'﹣S△B'MN

=S△BDE﹣S△B'MN

=x2﹣（4x﹣2）（4x﹣2）

=﹣x2+4x﹣；

当点D与点A重合时，x=BE=BC=1，即n=1，

当≤x＜1时，如图3，

设B'D，DE'与AC分别交于点M，N，作AQ⊥DM于Q，

∵∠B'DE'=∠BDE=30°，∠ADM=60°，

∴∠ADN=90°，

∴S=S△MND

=S△ADN﹣S△ADM

=（2﹣2x）（2﹣2x）﹣（2﹣2x）（2﹣2x）

=x2﹣2x+．

综上所述，S关于x的函数关系式为：S=