Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，BD=CD，DM是BC边上的中线，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交线段BD于点F，交DM于点N，连接AF．

（1）求证：∠DCN=∠DBA；

（2）直接写出线段AF、AB和CF之间的数量关系；

（3）当E恰好为AB中点时，∠BAD=______度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF+AB=CF；（3）105．

【解析】

(1)根据垂直的定义得到∠FEB=∠BDC=90°，根据对顶角相等得到∠DFC=∠EFB，于是得到∠DCN=∠DBA；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到CM=BM，DM⊥BC，求得∠DMC=∠DMB=90°，根据平行线的性质得到∠MDA=90°，得到∠ADB=∠NDC=45°，根据全等三角形的性质得到AB=CN，DA=DN，AF=NF，于是得到结论；
(3)连接AC，过A作AH⊥BC于H，由矩形的性质得到DM=AH，求得AH=BC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，求得AH=AC，得到∠ACH=30°，根据平行线的性质得到结论．

解：(1)∵CE⊥AB，

∴∠FEB=∠BDC=90°，

∵∠DFC=∠EFB，

∴∠DCN=∠DBA，

(2)∵BD=CD，∠BDC=90°

∴△BDC是等腰直角三角形，

又∵DM为BC边中线，

∴CM=BM，DM⊥BC，

∴∠DMC=∠DMB=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠MDA=90°，

又∵∠BDC=90°，

∴∠ADB=∠NDC=45°，

∴△ADB≌△NDC(ASA)，

∴AB=CN，DA=DN，

∴∠ADF=∠NDF，

∴△ADF≌△NDF(SAS)，

∴AF=NF，

∴CF=CN+NF=AB+AF，

∴AF+AB=CF；

(3)连接AC，过A作AH⊥BC于H，

∴四边形ADMH是矩形，

∴DM=AH，

∴AH=BC，

∵E恰好为AB中点，CE⊥AB，

∴AC=BC，

∴AH=AC，

∴∠ACH=30°，

∴∠ABC=∠CAB==75°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=30°，

∴∠DAB=105°，

故答案为：105．