Question

如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

OB

OC

=

1

2

．
（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-1上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）探究：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为1，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；
（2）利用把△AOB的面积表示出来，在根据x与y之间的关系代入整理；
（3）①代入求值即可，同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找；
②根据点A的坐标利用勾股定理列式求出AO的长，再分OA=AP，AO=P₁O，AO=OP₂，AP₃=OP₃四种情况分别求解即可．

解答：解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，
∴OC=1；
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

1

2

；
∴B点坐标为：（

1

2

，0）；
把B点坐标为：（

1

2

，0）代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=

1

2

×OB|y|=，y=kx-1，
∴S=

1

2

×

1

2

（2x-1）；
∴S=

1

2

x-

1

4

；

（3）①当S=1时，

1

2

x-

1

4

=1，
∴解得：x=

5

2

，y=2x-1=4；
∴A点坐标为（

5

2

，4）时，△AOB的面积为1；

②存在．
当OA=AP时，∵A（

5

2

，4），∴P（5，0），
当AO=P₁O时，AO=

( 5 2 )2+42

=

89

2

，
∴P₁（-

89

2

，0），
当AO=OP₂时，P₂（

89

2

，0），
当AP₃=OP₃时，可得出AO的垂直平分线所在直线为：y=-

1

2

x+

21

8

，
∴P₃（

21

4

，0），
综上所述，满足条件的所有P点坐标为：P（5，0），P₁（-

89

2

，0），P₂（

89

2

，0），P₃（

21

4

，0）．

点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标求法，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．