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【题目】RtABC中,∠BCA90°,∠A<∠ABCDAC边上一点,且DADBOAB的中点,CE是△BCD的中线.

(1)如图a,连接OC,请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系:   

(2)M是射线EC上的一个动点,将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON,使∠MON=∠ADBON与射线CA交于点N

①如图b,猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系;

②若∠BAC30°BCm,当∠AON15°时,请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)

【答案】1)∠ECO=∠OAC;(2)①OMON,理由见解析,②EM的值为m+mmm

【解析】

(1)结论:∠ECO=∠OAC.理由直角三角形斜边中线定理,三角形的中位线定理解决问题即可.

(2)①只要证明△COM≌△AON(ASA),即可解决问题.

②分两种情形:如图31中,当点NCA的延长线上时,如图32中,当点N在线段AC上时,作OHACH.分别求解即可解决问题.

解:(1)结论:∠ECO=∠OAC

理由:如图1中,连接OE

∵∠BCD90°BEEDBOOA

CEEDEBBDCOOAOB

∴∠OCA=∠A

BEEDBOOA

OEADOEAD

CEEO

∴∠EOC=∠OCA=∠ECO

∴∠ECO=∠OAC

故答案为:∠OCE=∠OAC

(2)如图2中,

OCOADADB

∴∠A=∠OCA=∠ABD

∴∠COA=∠ADB

∵∠MON=∠ADB

∴∠AOC=∠MON

∴∠COM=∠AON

∵∠ECO=∠OAC

∴∠MCO=∠NAO

OCOA

∴△COM≌△AON(ASA)

OMON

②如图31中,当点NCA的延长线上时,

∵∠CAB30°=∠OAN+ANO,∠AON15°

∴∠AON=∠ANO15°

OAANm

∵△OCM≌△OAN

CMANm

RtBCD中,∵BCm,∠CDB60°

BDm

BEED

CEBDm

EMCM+CEm+m

如图32中,当点N在线段AC上时,作OHACH

∵∠AON15°,∠CAB30°

∴∠ONH15°+30°45°

OHHNm

AHm

CMANmm

ECm

EMECCMm(mm)mm

综上所述,满足条件的EM的值为m+mmm

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∴∠D=1(______)

又∵∠C=D(已知)

∴∠1=______

BDCE(______)

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