Question

17．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点．将矩形ABCD沿BE翻折，使得点F落在CD上．
（1）求证：△DEF∽△CFB；
（2）若F恰是DC的中点，则AB与BC的数量关系是AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BC；
（3）在（2）中，连接AF，G、M、N分别是AB、AF、BF上的点（都不与端点重合），若△GMN∽△ABF，且△GMN的面积等于△ABF面积的$\frac{1}{2}$，求$\frac{AG}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形全等即可判断．
（2）由BF=2CF推出，∠FBC=30°即可解决问题．
（3）首先证明△ABF、△GMN是等边三角形，设AB=a，AG=x，想办法列出关于a、x的方程，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠BFC+∠FBC=90°，
∵矩形ABCD沿BE翻折后，点F落在CD上，
∴∠A=∠EFB=90°，
∴∠EFD+∠BFC=90°
∴∠EFD=∠FBC，
又∵∠C=∠D，
∴△DEF∽△CFB，
（2）∵△BEF是由△BEA翻折得到，
∴BF=AB=CD，
∵DF=FC，
∴BF=2CF，
∴∠FBC=30°，
在RT△BCF中，∵∠C=90°，∠FBC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$CF，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BC．
（3）解：在（2）中有CF=DF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠D=90°，
在△ADF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF．
∴AF=BF．
由翻折可知：AB=BF．
∴AF=AB=BF，
∴△ABF是等边三角形．
∵△GMN∽△ABF，
∴△GMN是等边三角形，
∴∠GMN=60°，MG=MN，
∵∠FMG=∠MAG+∠AGM=∠GMN+∠NMF，
∴∠NMF=∠AGM，
在△AGM和△FMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAG=∠MFN}\\{∠AGM=∠NMF}\\{MG=MN}\end{array}\right.$
∴△AGM≌△FMN，同理△AGM≌△BNG，
∵S_△GMN=$\frac{1}{2}$S_△ABF，
∴S_△AGM=$\frac{1}{6}$S_△ABF
设AB=a，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴S_△AGM=$\frac{\sqrt{3}}{24}$a²，
设AG=x，则BG=AM=a-x．
∴M到AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴S_△AGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x （a-x），
∴$\frac{\sqrt{3}}{24}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x （a-x），
整理得到：6x²-6xa+a²=0，
∴x=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$a，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会把问题转化为方程解决，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．